|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: De eerste m n-machten
Voor onze examen analyse moeten we een aantal reductie formules zelf kunnen bewijzen, nu ben ik bezig met de volgende formule:
òsinn(x)·cosp(x) dx
= (n+p)· òsinn(x)·cosp(x)dx
= (p-1)· òsinn(x)·cosp-2(x)dx + sinn+1(x)·cosp-1(x)
Ik hebt dit gedaan met partiële integratie:
u = cosp-1(x)
= du = (p-1)·cosp-2·(-sin(x))dx
dv = cos(x)·sinn(x)dx = sinn(x)dsin(x)
= v = sinn+1(x)/(n+1)
De integraal wordt dan:
cosp-1(x)·sinn+1(x)/(n+1)-òsinn+1(x)/(n+1)·(p-1)·cosp-2·(-sin(x))dx
=(cosp-1(x)·sinn+1(x))/(n+1)+(p-1)/(n+1)òsinn+1(x)·cosp-2·sin(x)dx
=(cosp-1(x)·sinn+1(x))/(n+1)+(p-1)/(n+1)òsinn+2(x)·cosp-2dx
Ik heb het gevoel dat ik er bijna ben maar die /(n+1) moet nog /(n+p) worden en binnen de integraal moet sinn+2(x) veranderd worden in sinn(x)
Zie ik iets over het hoofd?
Antwoord
Hallo
Ik kan je redenering niet goed volgen, maar ik stel andere oplossing voor.
Ik stel de opgave gelijk aan : I(n,p) =
òsinn(x).cosp(x).dx =
òsinn-2(x).(1-cos2x).cosp(x).dx =
òsinn-2(x).cosp(x).dx - òsinn-2(x).cosp+1(x).cos(x).dx =
òsinn-2(x).cosp(x).dx - òsinn-2(x).cosp+1(x).d(sin(x)) =
In-2,p - òcosp+1(x).d(sinn-1(x)/n-1) =
In-2,p - 1/n-1.òcosp+1(x).d(sinn-1(x))
Op de tweede integraal passen we een partiële integratie toe :
In-2,p - 1/n-1.cosp+1(x).sinn-1(x) + 1/n-1.òsinn-1(x).d(cosp+1(x)) =
In-2,p - 1/n-1.cosp+1(x).sinn-1(x) + 1/n-1.òsinn-1(x).(p+1).cosp(x).d(cos(x)) =
In-2,p - 1/n-1.cosp+1(x).sinn-1(x) - p+1/n-1.òsinn-1(x).cosp(x).sin(x).dx =
In-2,p - 1/n-1.cosp+1(x).sinn-1(x) - p+1/n-1.òsinn(x).cosp(x).dx =
In-2,p - 1/n-1.cosp+1(x).sinn-1(x) - p+1/n-1.In,p
Deze laatste integraal is weer de beginopgave en brengen we terug naar het linkerlid :
In,p + p+1/n-1.In,p = In-2,p - 1/n-1.cosp+1(x).sinn-1(x)
(n+p/n-1).In,p = In-2,p - 1/n-1.cosp+1(x).sinn-1(x) =
In,p = (n-1/n+p).In-2,p - 1/n+p.cosp+1(x).sinn-1(x)
Je ziet dat in de integraal de macht van de sinus gedaald is met 2.
Je kunt ook de macht van de cosinus laten dalen met 2.
Je begint dan met : I(n,p) =
òsinn(x).cosp(x).dx =
òsinn(x).cosp-2(x).(1-sin2x).dx = ...
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
